В июне $2022$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с долгом в июне;
— с февраля по $31$ мая каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму планируют взять кредит в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен в течение трёх лет тремя равными платежами и общая сумма выплат будет больше суммы взятого кредита на $20295$ рублей.
1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2023 года долг возрастёт на 12.5% и станет равным $K·1.125$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу мая 2023 года долг станет равным $K·1.125-x$ рублей.
В январе 2024 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2024 года будет внесён платеж в $x$ рублей. В июне 2024 года долг составит $(K·1.125 — x)·1.125 — x$ рублей.
Наконец, в январе 2025 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2025 года будет внесён платеж в x рублей. Первого июня 2025 года долг составит $((K·1.125-x)·1.125-x)1.125-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:
$((K·1.125 — x)·1.125 — x)1.125 — x = 0$;
$x = {K·(1.125)^3}/{(1.125)^2 + 1.125 + 1}$.
Заметим, что $1.125 = {9}/{8}$, поэтому $x = {K·(9)^3}/{8·9^2 + 8·9 + 8^2} = {K·729}/{8·217}$;
Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·729}/{1736} = {K·2187}/{1736}$.
Согласно условию получаем уравнение: ${K·2187}/{1736} = K + 20295$;
${K·(2187- 1736)}/{1736} = 20295; {K·451}/{1736} = 20295$;
$K = 45·1736=78120$
Ответ: 78.120