Клиент планирует взять в банке льготный кредит на целое число миллионов рублей сроком на $5$ лет. В середине каждого года действия кредита долг клиента возрастает на $20%$ по сравнению с началом года. В конце $1$-го, $2$-го и $3$-го годов клиент выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце $4$-го и $5$-го годов клиент выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат клиента превысит $20$ млн рублей.
Пусть $S$ млн руб. — сумма кредита. Так как в конце 1-го, 2-го и 3-го годов клиент выплачивает по $0.2S$, то за три года он выплатит $0.2S · 3 = 0.6S$.
Рассмотрим погашение кредита за 4-й и 5-й годы. В середине четвёртого года долг возрастёт до $1.2S$. Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце четвёртого года долг равен $1.2S — x$, а в середине 5-го года долг равен $1.2(1.2S — x)$. В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна $1.2(1.2S — x)$ и по условию равна $x$. Отсюда $1.2(1.2S — x) = x, 2.2x = 1.44S, x = {144}/{220} S={36}/{55}S$.
Общий размер выплат равен $0.6S+{36}/{55}S + {36}/{55} S = {21}/{11} S$.
По условию ${21}/{11} S > 20, S > 10{10}/{21}$. Найдём наименьшее целое $S$.
Неравенство выполнимо при $S = 11$. Наименьший размер кредита составляет $11$ млн рублей.
Ответ: 11