В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если ежегодно выплачивать по $72000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $122000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите число $r$.
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, ежегодная выплата равна $x$ рублей, $q = 1 + {r}/{100}$ — процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом:
июль $2021: S_1 = qS — x$,
июль $2022: S_2 = qS_1 — x = q^2S — (q + 1)x$.
Если за 2 года кредит не погашен, то далее:
июль $2023: S_3 = qS_2 — x = q^3 S — (q^2 + q + 1)x$,
июль $2024: S_4 = qS_3 — x = q^4 S — (q^3 + q^2 + q + 1)x = q^4 S — {(q^4 — 1)x}/{q- 1}$.
Если долг выплачен двумя равными платежами $x_2$, то $S_2 = 0$. Тогда $q^2 S — (q + 1)x_2 = 0, S = {(q + 1)x_2}/{q^2}$.
Если долг выплачен четырьмя равными платежами $x_4$, то $S_4 = 0$. Тогда $q^4 S — {(q^4- 1)x_4}/{q- 1} = 0, S = {(q^4 — 1)x_4}/{q^4 (q — 1)}$.
Исключив из уравнений сумму кредита $S$, получим ${(q + 1)x_2}/{q^2} = {(q^4 — 1)x_4}/{q^4 (q — 1)}, q^2 = {x_4}/{x_2 — x_4}$.
По условию $x_4 = 72 000, x_2 = 122 000$. Значит $q^2 = {72 000}/{122 000 — 72 000} = {36}/{25}, q = {6}/{5} = 1.2, r = 20$.
Ответ: 20