В правильной треугольной пирамиде $DABC$ с вершиной $D$ сторона основания $AB$ равна $9$, высота равна $3$. На рёбрах $AB$, $AC$, $AD$ отмечены точки $P$, $K$, $F$ соответственно, причём $AP=AK=3$ и $AF=2$. а) Доказать, что плоскости $PKF$ и $DBC$ параллельны. б) Найти расстояние от точки $F$ до плоскости $DBC$.
Докажем, что плоскость $DBC$ параллельна плоскости $PKF$. Для этого в плоскости $PKF$ возьмём прямые $KP$ и $FP$, а в плоскости $DBC$ — прямые $CB$ и $DB$ (см. рис.). Пусть $O$ — центр основания.
В $▵ ADO$: $∠ DOA=90°$ и по теореме Пифагора $AD=√ {DO^2+AO^2}$. Найдём $AO$, треугольник $ABC$ — правильный, все его стороны равны, $AM$ — высота, $AM={a√ {3}} / {2}$, где $a$ — сторона $▵ ABC$, $AO={2} / {3} AM={2} / {3}⋅ {a√ {3}} / {2}={a√ {3}} / {3}$, то есть $AO={9√ {3}} / {3}=3√ {3}$, $AD=√ {3^2+(3√ {3})^2}=√ {9+27}=6$. $▵ APF∼ ▵ ABD$, так как ${AF} / {AD}={2} / {6}={1} / {3}$, ${AP} / {AB}={3} / {9}={1} / {3}$ и $∠ DAB$ — общий, то есть две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны. Из подобия следует, что $∠ AFP=∠ ADB$. Это соответственные углы при прямых $FP$ и $DB$ и секущей $AD$. Значит, $FP∥ DB$. Аналогично рассуждая, получим, что $▵ AKP∼ ▵ ACB$, так как ${AK} / {AC}={3} / {9}={1} / {3}$, ${AP} / {AB}={3} / {9}={1} / {3}$ и $∠ BAC$ — общий, то есть две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны. Из подобия следует, что $∠ APK=∠ ABC$. Это соответственные углы при прямых $KP$ и $BC$ и секущей $AB$. Значит, $KP∥ BC$. Итак, две пересекающиеся прямые $KP$ и $FP$ плоскости $PKF$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $CB$ и $BD$ плоскости $DBC$. Следовательно, плоскости $DBC$ и $PKF$ параллельны по признаку параллельности плоскостей. б) Найдём расстояние от точки $F$ до плоскости $DBC$. Так как плоскость $KFP$ параллельна плоскости $DBC$, то расстояние от точки $F$ до плоскости $DBC$ равно расстоянию от точки $L$ до плоскости $DBC$ и равно длине отрезка $LN$ (см. рис.), где $LN$ — перпендикуляр к $MD$ в плоскости $AMD$.
Докажем это. $AM ⊥ BC$ и $DM⊥ BC$ (как высоты треугольников $ABC$ и $DBC$), значит, $BC⊥ MDA$ и тогда $BC$ перпендикулярен любой прямой этой плоскости, в частности, $LN$. С другой стороны, $LN ⊥ MD$ по построению, значит, $LN$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости $DBC$, и тогда отрезок $LN$ перпендикулярен плоскости $DBC$ и равен расстоянию от точки $L$ до плоскости $DBC$. В $▵ LNM$: $∠ LNM=90°$, $LN=LM⋅ sin ∠ NML$. $ML=AM-LA$; $AM={9√ {3}} / {2}$;
$LA={1} / {3}⋅ AM={9√ {3}} / {6}={3√ {3}} / {2}$. $ML={9√ {3}} / {2}-{3√ {3}} / {2}=3√ {3}$. $sin ∠ NML={DO} / {DM}$; $DO=3$ (по условию). Из $▵ MDB$ найдём $DM$: $∠ DMB=90°$,
$MD=√ {BD^2-MB^2}=√ {36-({9} / {2})^2}={3√ {7}} / {2}$. $sin ∠ NML={2} / {√ {7}}$. $LN=LM⋅ sin ∠ NML=3√ {3}⋅{2} / {√ {7}}=6√ {{3} / {7}}$.
Ответ: 6sqrt{fsm{3}{7}}