Перейти к содержанию

Найдите объём PKBC, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9

В основании четырёхугольной пирамиды $PABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Известно, что сумма углов $BAD$ и $ADC$ равна $90^°$, плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны основанию, прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$.

а) Докажите, что плоскость $PAB$ перпендикулярна плоскости $PDC$.

б) Найдите объём $PKBC$, если $AB=BC=CD=4$, а высота пирамиды $PABCD$ равна $9$.


а) 1) $∠AKD = 180° — (∠A + ∠D) = 180° — 90° = 90°$.

2) Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то они пересекаются по прямой, так же перпендикулярной этой плоскости. Отсюда следует, что так как $PAB ⊥ ABC$ и $PCD ⊥ ABC$, то $PK ⊥ ABC$.

3) Так как $PK ⊥ ABC$, то $PK ⊥ KA$ и $PK ⊥ KD$.

Значит, $∠AKD$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $PAB$ и $PCD$. Следовательно, $PAB ⊥ PCD$.

б) 1) Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция, то $∠A = ∠D$. Так как $BC ‖ AD$, то $∠A = ∠KBC, ∠D = ∠KCB$ как соответственные. Значит, $∠KBC = ∠KCB$, то есть $△KBC$ равнобедренный.

2) По теореме Пифагора $BK^2 + CK^2 = BC^2; 2BK^2 = BC^2; BK^2 = {BC^2}/{2} = {4^2}/{2} = 8$.

3) $S_{KBC} = {1}/{2}BK·CK = {1}/{2}BK^2 = {1}/{2}·8 = 4$.

4) $V_{PKBC} = {1}/{3}S_{KBC}·PK = {1}/{3}·4·9 = 12$.

Ответ: 12