Перейти к содержанию

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 сторона AB=AA1=3, AD=6

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ сторона $AB=AA_{1}=3$, $AD=6$. На рёбрах $AD$ и $CC_{1}$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ — середины этих рёбер.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершину $D$, параллельно $MN$ и $B_{1}C$.
б) Найдите объём пирамиды, основание которой — построенное сечение, а вершина — точка $D_{1}$.


а) Искомое сечение проходит через вершину $D$ параллельно $B_1 C$, следовательно, пересекает грань $AA_1 D_1 D$ по диагонали $A_1 D$. Действительно, $A_1 D||B_1 C$ (плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым). Рассмотрим прямоугольник $C C1 M_1M$. Проведём $C_1 K ||M N$. $K$ — середина отрезка $M M_1$ и середина отрезка $A_1 D$, значит, принадлежит искомому сечению, поэтому $C_1 K$ лежит в плоскости сечения. Таким образом, $A_1 C_1 D$ — искомое сечение.

б) б) Рассмотрим пирамиду $D_1A_1C_1D$ как пирамиду с основанием $D_1DC_1$ и высотой $A_1D_1 (A_1D_1 ⊥ D_1DC_1)$.

$V_{D_1A_1C_1D} = {1}/{3}S_{D_1DC_1} ·A_1D_1 = {1}/{3} · {1}/{2}D_1C_1 ·D_1D ·A_1D_1 = {1}/{6} ·3·3·6 = 9$.

Ответ: 9