В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания $AB=8√ {2}$, а боковое ребро $AA_1=16$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$. На ребре $DD_1$ отмечена точка $F$ так, что $DF=4$. Плоскость $α$ параллельна прямой $A_1C_1$ и содержит точки $K$ и $A$.
а) Докажите, что прямая $BF$ перпендикулярна плоскости $α$.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка $B$, а основание — сечение данной призмы плоскостью $α$.
1. Построим сечение призмы плоскостью $α$.
Грани $ABCD$ и $A_1 B_1 C_1 D_1$ параллельны, значит плоскость α пересекает их по параллельным прямым.
По условию плоскость α параллельна прямой $A_1 C_1$, то есть содержит прямую, параллельную $A_1 C_1$. Поэтому, проведя через точку $K$ прямую $KP (P ∈ B_1 C_1)$, параллельную прямой $A_1 C_1$, и через точку $A$ — прямую $AC$, параллельную прямой $A_1 C_1$ (прямая $AC$ содержит диагональ нижнего основания) получим трапецию $AKPC$ — искомое сечение.
2. Выберем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Найдём координаты нужных точек: $B(0; 0; 0), F (8√2; 8√2; 4), A(8√2; 0; 0), C (0; 8√2; 0), K (4√2; 0; 16), P (0; 4√2; 16)$.
3. Рассмотрим векторы ${BF}↖{→} (8√2; 8√2; 4), {AP}↖{→} (-8√2; 4√2; 16)$ и ${CK}↖{→} (4√2; -8√2; 16)$.
Так как ${BF}↖{→}· {AP}↖{→} = 8√2(-8√2) + 8√2 · 4√2 + 16 · 4 = 0$, то ${BF}↖{→} ⊥ {AP}↖{→}$.
Так как ${BF}↖{→} · {CK}↖{→} = 8√2 · 4√2 + 8√2 · (-8√2) + 4 · 16 = 0$, то ${BF}↖{→} ⊥ {CK}↖{→}$.
Отсюда следует, что $BF ⊥ α$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости ($BF$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости).
б) Искомый объём $V = {1}/{3}S · h$, где $S$ — площадь четырёхугольника $AKPC$, а высота $h$ — расстояние от точки $B$ до плоскости $α$.
1. $S_{AKPC} = {1}/{2}AP · CK sin β$, где $β$ — угол между диагоналями $AP$ и $CK$ четырёхугольника $AKPC$.
$cos β = {{AP}↖{→} · {CK}↖{→}}/{|{AP}↖{→}| · |{CK}↖{→}|} = {-8√2 · 4√2 + 4√2(-8√2) + 16 · 16}/{√{(-8√2)^2 + (4√2)^2 + 16^2} · √{(4√2)^2 + (-8√2)^2 + 16^2}} = {-64 — 64 + 256}/{416} = {128}/{416} = {4}/{13}; |{AP}↖{→}| = |{CK}↖{→}| = √{416}$.
$sin β = √{1 — cos^2β} = √{1 — {16}/{169}} = {3√17}/{13}$.
Таким образом $S = {1}/{2} · √{416} · √{416} · {3√17}/{13} = 48√{17}$.
2. Чтобы найти $h$ необходимо найти уравнение плоскости $α$. Оно имеет вид $ax + by + cz + d = 0$, где ${n}↖{→}(a; b; c)$ — вектор нормали этой плоскости.
Согласно пункту а) одним из векторов нормали является вектор ${BF}↖{→}(8√2; 8√2; 4)$.
Значит, уравнение плоскости имеет вид $8√2x + 8√2y + 4z + d = 0 (1)$.
Чтобы найти значение $d$ подставим координаты точки $A(8√2; 0; 0)$ в уравнение (1) и получим $8√2 · 8√2 + d = 0, d = -128$.
Уравнение плоскости $α$ примет вид $8√2x + 8√2y + 4z — 128 = 0$.
Найдём расстояние $h$ от точки $B(0; 0; 0)$ до плоскости сечения.
$h = {|ax_0+ by_0 + cz_0 + d|}/{√{a^2 + b^2 + c^2}} = {|8√2 · 0 + 8√2 · 0 + 4 · 0 — 128|}/{√{(8√2)^2 + (8√2)^2 + 16}} = {32}/{√17}$, где ($x_0 ; y_0 ; z_0$ ) — координаты точки $B$.
$V = {1}/{3} · S · h = {1}/{3} · 48√{17} · {32}/{√17} = 512$.
Ответ: 512