Перейти к содержанию

Решите неравенство 32x+2·3x+232x+2·3x≤4+13x−3·3x+13x−1

Решите неравенство ${3^{2x}+2·3^{x}+2}/{3^{2x}+2·3^{x}}≤4+{1}/{3^x}-{3·3^{x}+1}/{3^{x}-1}$.


${3^{2x} + 2·3^x + 2}/{3^{2x} + 2·3^x} ≤ 4 + {1}/{3^x}-{3·3^x + 1}/{3^x — 1}$.

Обозначим $3^x = t, t > 0$. Неравенство примет вид:

${t^2 + 2t + 2}/{t^2 + 2t}≤4 + {1}/{t}-{3t + 1}/{t — 1}$,

$1 + {2}/{t(t + 2)} — 4 — {1}/{t} + {3t + 1}/{t — 1} ≤ 0$,

${3(t + 3)t}/{t(t — 1)(t + 2)} ≤ 0$. Воспользуемся условием $t > 0$.

Так как при этом $t + 3 > 0$ и $t + 2> 0$, то неравенство верно при $t — 1 < 0$, то есть $0 < t < 1$. Тогда $0 < 3^x < 1, x < 0$.

Ответ: $(-∞;0)$