Перейти к содержанию

Решите неравенство 4·5x−175x−4+10·5x−132·5x−3>8·5x−302·5x−7+5x+1−45x−1

Решите неравенство ${4·5^x-17}/{5^x-4}+{10·5^x-13}/{2·5^x-3}>{8·5^x-30}/{2·5^x-7}+{5^{x+1}-4}/{5^x-1}$.


С помощью замены $5^x = t$, где $t > 0$, приведём неравенство к виду

${4t — 17}/{t — 4} + {10t — 13}/{2t — 3} > {8t — 30}/{2t — 7} + {5t — 4}/{t — 1}$.

Выделим целую часть в каждом слагаемом:

$4 — {1}{t — 4} + 5 + {2}/{2t — 3} > 4 — {2}/{2t — 7} + 5 + {1}/{t — 1}$,

${2}/{2t — 3} — {1}/{t — 4} + {2}/{2t — 7} — {1}/{t — 1} > 0$.

После приведения к общему знаменателю и упрощения получим:

${2t — 5}/{(2t — 3)(t — 4)(2t — 7)(t — 1)} < 0$.

Решим неравенство методом интервалов.

С учётом условия $t > 0$, получим

$0 > t > 1; {3}/{2} < t < {5}/{2}; {7}/{2} < t < 4$.

Возвращаясь к переменной $x$, получим, что $5^x < 1, {3}/{2} < 5^x < {5}/{2}, {7}/{2} < 5^x < 4$, откуда $x < 0, log_5{3}/{2} < x < log_5{5}/{2}, log_5{7}/{2} < x < log_{5}4$.

Ответ: $(-∞;0)∪(log_{5}{3}/{2};log_{5}{5}/{2})∪(log_{5}{7}/{2};log_{5}4)$