Решите неравенство $2 log_{x}3 + 3log_{3x}3 ≤ 2$.
Заметим, что $x > 0, x ≠ {1}/{3}, x ≠ 1$.
Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:
${2}/{log_{3}x} + {3}/{log_{3}3x} ≤ 2,$
${2}/{log_{3}x} + {3}/{log_{3}3 + log_{3}x} ≤ 2,$
${2}/{log_{3}x} + {3}/{1 + log_{3}x} ≤ 2$
Пусть $log_{3}x = t$, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:
${2}/{t} + {3}/{1 + t} ≤ 2$,
${2(1 + t) + 3t − 2t(1 + t)}/{t(1 + t)} ≤ 0$,
${2t^2 − 3t − 2}/{t(1 + t)} ≥ 0$,
${(2t + 1)(t − 2)}/{t(t + 1)} ≥ 0.$
Получим два простых неравенства и одно двойное, решим их, возвращаясь к переменной $x$:
$t < -1, −{1}/{2}≤t<0, t ≥ 2,$
$log_3x < -1, log_3 {1}/{√3} ≤ log_3x < log_{3}1, log_{3}x ≥ log_{3}9,$
$0 < x<{1}/{3}, {1}/{√3}≤ x <1, x≥9.$
Так как найденные значения переменной удовлетворяют ОДЗ, то решение неравенства — $(0; {1}/{3})∪[{1}/{√3};1) ∪ [9; +∞)$.
Ответ: $(0;{1}/{3})∪[{1}/{√3};1)∪[9;+∞)$