Решите неравенство ${45⋅ 2^x-90+45⋅ 2^{-x}} / {2^x+2+2^{-x}}-{21⋅ 2^x+21} / {2^x+1}⩽{2^{x+3}-8} / {2^x+1}$.
${45(2^x+2^{-x}-2)} / {2^x+2^{-x}+2}-{21(2^x+1)} / {2^x+1}⩽ {2^3(2^x-1)} / {2^x+1}$. Выполним преобразования, обозначим $2^x=t$, $t>0$. Тогда неравенство примет вид: ${45(t+{1} / {t}-2)} / {t+{1} / {t}+2}-{21(t+1)} / {t+1}⩽ {8(t-1)} / {t+1}$, ${45⋅ (t-1)^2} / {(t+1)^2}-21⩽ {8(t-1)} / {t+1}$, ${45(t-1)^2} / {(t+1)^2}-{8(t-1)} / {t+1}-21⩽0$, ${45(t-1)^2-8(t^2-1)-21(t+1)^2} / {(t+1)^2}⩽ 0$; $(t+1)^2>0$, следовательно, $45(t-1)^2-8(t^2-1)-21(t+1)^2⩽ 0$, $45t^2-90t+45-8t^2+8-21t^2-42t-21⩽ 0$, $16t^2-132t+32⩽ 0$, $16t^2-132t+32=0$, $4t^2-33t+8=0$, $D=33^2-32⋅ 4=961=31^2$. $t_{1, 2}={33±31} / {8}$, $t_1=8$; $t_2={2} / {8}={1} / {4}$. Решением неравенства $4t^2-33t+8⩽ 0$ будет $t∈ $, то есть, переходя к переменной $x$, получаем $2^x∈ $, $x∈$.
Ответ: [-2;3]