Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, делит его площадь пополам, а другой — в отношении ${6} / {7}$. а) Докажите, что данный четырёхугольник есть трапеция. б) Укажите отношение двух оснований этой трапеции (меньшего к большему).
а) Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть M — середина AB, N — середина CD, причём $S_{AMND} = S_{MBCN}$. Проведём AN и BN. Заметим, что $S_{AMN} = {1}/{2}AM · MNsin∠AMN ={1}/{2}MB · MNsin∠BMN = S_{BMN}$, так как $AM = MB, sin∠AMN = sin(180° — ∠AMN) = sin∠BMN$.
Отсюда $S_{AND} = S_{BNC}(S_{AND} = S_{AMND} — S_{AMN}, S_{BNC} = S_{MBCN} — S_{MBN})$.
Опустим в $△AND$ высоту AH, в $△BNC$ — высоту BK.
Получим ${1}/{2}DN·AH = {1}/{2}NC·BK$, при этом $DN = NC$. Следовательно, $AH = BK$. Но тогда в четырёхугольник $AHKB ∠AHK = ∠BKH = 90°, AH = BK$, то есть $AHKB$ — прямоугольник. Значит, $AB ‖ HK, AB ‖ DC$.
Для доказательства того, что ABCD — трапеция, необходимо доказать, что две другие стороны не параллельны, то есть AD не параллельна BC. Предположим противное. Тогда ABCD — параллелограмм, но тогда отрезок, соединяющий середины AD и BC, делит площадь ABCD пополам, что противоречит условию, так как отношение полученных площадей должно равняться 6 : 7. Отсюда верно ABCD — трапеция.
б) По условию EF делит площадь ABCD на площади, отношение которых равно 6 : 7, а именно $S_{ABFE} : S_{EFCD} = 6 : 7$.
$EF$ — средняя линия, $EF = {AB + CD}/{2}$.
Надо найти AB : CD.
$S_{ABFE} = {AB + EF}/{2}·h_1, S_{EFCD} = {EF + CD}/{2}·h_2$, где $h_1$ — высота $ABFE$, $h_2$ — высота $EFCD$.
Учитывая, что $AB ‖ CD$, а $EF$ — средняя линия и $EF ‖ AB$ и $EF ‖ CD$, то расстояние от $EF$ до $AB$ и от $EF$ до $CD$ равны, то есть $h_1 = h_2$.
Следовательно, ${S_{ABFE}}/{S_{EFCD}} = {{AB + EF}/{2}}/{{EF + CD}/{2}} = {AB + EF}/{EF + CD} = {AB + {AB + CD}/{2}}/{{AB + CD}/{2} + CD} = {3AB + CD}/{3CD + AB}, {3AB + CD}/{3CD + AB} = {6}/{7}, 21AB + 7CD = 18CD + 6AB, 15AB = 11CD, {AB}/{CD} = {11}/{15}$.
$AB : CD = 11 : 15$.
Ответ: 11:15