В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опустили перпендикуляр $AE$. На стороне $AB$ отмечена точка $F$ так, что прямые $BE$ и $FD$ параллельны. а) Докажите, что прямые $FC$ и $CD$ перпендикулярны. б) Найдите отношение $BE:FD$, если угол $BCD$ равен $120°$.
Продолжим боковые стороны трапеции $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $S$. Ясно, что $BC$ — меньшее основание, иначе перпендикуляр $AE$ будет падать на продолжение $CD$, а не на саму сторону, что противоречит условию.
а) Для доказательства перпендикулярности прямых $FC$ и $CD$ достаточно доказать подобие треугольников $SFC$ и $SAE$.
Заметим, что $△SBC ∼ △SAD$ по двум углам ($∠SBC = ∠SAD = 90°, ∠S$ — общий). Тогда ${SB}/{SA} = {SC}/{SD}$, то есть $SB·SD = SA · SC$.
С другой стороны, $△SBE ∼ △SFD$ по двум углам: $∠SBE = ∠SFD$ как соответственные углы при параллельных прямых $BE$ и $FD$ и секущей $SA, ∠S$ — общий.
Тогда ${SB}/{SF} = {SE}/{SD}$, отсюда $SB · SD = SF · SE$.
Следовательно, $SA · SC = SB · SD = SF · SE$.
Тогда $SA · SC = SF · SE, {SA}/{SF} = {SE}/{SC}$.
Отсюда $△SAE ∼ △SFC$ по второму признаку.
Тогда $∠SCF = ∠SEA = 90°, FC ⊥ SD$, что и требовалось доказать.
б) Из подобия треугольников $SBE$ и $SFD$ следует ${BE}/{FD} = {SB}/{SF}$.
$∠BCS = 180° — ∠BCD = 60°, SB = SC sin 60° = {√3}/{2}SC. ∠CSF = 90° — ∠BCS = 30°$. Из $△SFC$ $CS = SF cos 30° = SF {√3}/{2}$. Тогда $SB = {√3}/{2}SC ={√3}/{2}·{√3}/{2}SF; {SB}/{SF} = {3}/{4} = 0.75$.
Ответ: 0.75