В треугольнике $MNP$, в котором все углы острые, проведены высоты $ME$ и $PF$. Из точек $F$ и $E$ на $ME$ и $PF$ опущены перпендикуляры $FK$ и $EH$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KH$ и $MP$ параллельны.
б) Найдите отношение $MP:KH$, если угол $MNP$ равен $60^°$.
а) $O$ — точка пересечения высот $ME$ и $PF$. $△POE ∼ △MFO$ по первому признаку подобия: $∠PEO = ∠OFM = 90°, ∠EOP = ∠FOM$ как вертикальные.
Учитывая, что в подобных треугольниках пропорциональны сходственные стороны и высоты, к ним проведённые, получим ${OP}/{OM} = {EH}/{FK}$ (1).
$△OHE ∼ △FOK$ по первому признаку подобия: $∠EHO = ∠FKO = 90°, ∠EOH = ∠FOK$ как вертикальные, отсюда ${OH}/{OK} = {EH}/{FK}$ (2).
Из 1) и 2) следует ${OP}/{OM} = {OH}/{OK}$.
Следовательно, $△OP M ∼ △OH K$ по второму признаку подобия: $∠P OM$ — общий, ${OP}/{OH} = {OM}/{OK}$.
Из подобия следует $∠OP M = ∠OH K$ . Углы $OP M$ и $OH K$ соответственные при прямых $M P$ и $K H$ и секущей $OP$ . Следовательно, $M P ‖ K H$ по признаку параллельности прямых.
б) В четырехугольнике $N FOE ∠FOE = 360° -(∠90° +∠90° +∠N ) = 360° — 240° = 120°$. В $△FOK ∠FKO = 90°, ∠FOK = 60°$, как смежный с $∠FOE = 120°$, тогда $∠OF K = 30°$.
Обозначим $OK = x$, тогда $FO = 2x$.
В $△OFM ∠M FO = 90°, ∠FOM = 60°, ∠F M O = 30°$, то есть $FO = {1}/{2}M O$, значит, $2x = {1}/{2}M O, M O = 4x$.
По доказанному в пункте а) $△OM P ∼ △OK H$, значит, ${MP}/{K H} = {M O}/{OK} $, но $M O = 4x, OK = x$, следовательно, ${M P}/{K H} = {4x}/{x} = 4 : 1$
Ответ: 4:1