Перейти к содержанию

Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке D, отличной от A. Лучи AO и AD вторично пересекают большую окружность в точках M и N соответственно

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $BC$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$, отличной от $A$. Лучи $AO$ и $AD$ вторично пересекают большую окружность в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $AN$ большей окружности, не содержащей точку $M$.
а) Докажите, что прямые $MN$ и $BC$ параллельны.
б) Известно, что $sin ∠ AOC = {√ {5}} / {3}$. Прямые $MC$ и $AN$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $NK:KA$.


а) По условию задачи выполним чертёж (см. рис.).

Угол $ANM$ опирается на диаметр $AM$ большей окружности, следовательно, он — прямой. Угол $ADO$ опирается на диаметр $AO$ меньшей окружности, поэтому он тоже прямой. Таким образом, прямые $MN$ и $BC$ перпендикулярны прямой $AN$, значит, они параллельны. б) Углы $AOC$ и $AMN$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN$, $BC$ и секущей $AM$. Диаметр $BC$ большей окружности перпендикулярен хорде $AN$. Значит, точка $C$ — середина дуги $AN$ (в равнобедренном треугольнике $AON$ высота $OD$ является одновременно медианой и биссектриссой). Следовательно, луч $MC$ является биссектрисой угла $AMN$ прямоугольного треугольника $AMN$, поэтому
${NK} / {KA} = {MN} / {MA} = cos ∠ AMN = cos ∠ AOC = √ {1 — sin^2 ∠ AOC} = {2} / {3}$.

Ответ: 2:3