Перейти к содержанию

Найдите точку минимума функции y=x−8×2+225

Найдите точку минимума функции $y={x-8} / {x^2+225}$.


Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «минуса» на «плюс».

1. Находим $y′$, пользуясь формулой производной частного двух функций и правилом дифференцирования степенной функции:

$y′ = {(x-8)′·(x^2+225)-(x^2+225)′·(x-8)}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {x^2+225-2x·(x-8)}/{(x^2+225)^2}={x^2+225-2x^2+16x}/{(x^2+225)^2}$.

$y′ = {-x^2+16x+225}/{(x^2+225)^2}$.

2. Решаем уравнение $y′ = 0, -x^2 + 16x+225 = 0, x^2-16x-225=0, x_{1,2} = 8±√{64+225}=8±√{289}=8±17, x_1=-9, x_2=25$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $-x^2 +16x+225$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз и корнями являются числа $-9$ и $25$.

Поэтому на промежутке $(-∞;-9)$ производная меньше нуля, на промежутке $(-9; 25)$ она больше нуля и на промежутке $(25;+∞)$ меньше нуля.

  (-∞;-9) -9 (-9; 25) 25 (25;+∞)
y′ +
y 0 0

Тем самым производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = -9$, которая и будет точкой минимума.

Ответ: -9