Найдите точку максимума функции $y=-8√ x+12ln(x-4)-11$.
Областью определения этой функции является интервал $(4; +∞)$, на котором функция дифференцируема. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «плюса» на «минус».
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций.
$y′ = {-8}/{2√x} + {12}/{x — 4} = {-8(x — 4) + 24√x}/{2√x(x — 4)} = {-4x + 16 + 12√x}/{√x(x — 4)}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0, -4x + 16 + 12√x = 0$.
Сделаем замену $√x = t$ $(t > 2)$. Получим уравнение $-4t^2 + 12t + 16 = 0; t^2 — 3t — 4 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения получаем:
$t_{1,2} = {3± √{9 + 16}}/{2} = {3±2}/{5}$,
$t_1 = -1, t_2 = 4$.
$t = -1$ не удовлетворяет условию $t > 2$.
Уравнение $√x = 4$ имеет решение $x = 16$. Получили единственную стационарную точку $x = 16$, принадлежащую промежутку $(4; +∞)$.
При $x > 4$ знак производной совпадает со знаком функции $y_1 = -4x+16+12√x$. Для определения её знака на интервале $(4; +∞)$ достаточно найти её знак в двух точках, одна из которых меньше, чем $x = 16$, и другая, больше, чем $x = 16$.
$y_1 (9) = -4 · 9 + 16 + 12√9 = -36 + 16 + 36 > 0$, а $y_1 (25) = -4 · 25 + 16 + 12√25 = -100 + 16 + 60 < 0$.
3. Получаем, что производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через единственную экстремальную точку $x = 16$. Поэтому точка $x = 16$ будет точкой максимума.
Ответ: 16