Перейти к содержанию

Какой угол образует с вертикалью конический маятник, если за 2 с он совершает один полный оборот по окружности радиусом 10 см

Какой угол образует с вертикалью конический маятник, если за 2 с он совершает один полный оборот по окружности радиусом 10 см?


Дано:

$R=0.1$м

$t=2$c

$g≈10{м}/{с^2}$

$α-?$

Решение:

На маятник действуют сила тяжести $m{g}↖{→}$, сила напряжения нити $T↖{→}$ и центробежная сила инерции ${F_{ц.б.}}↖{→}=m{a_{ц.б.}}↖{→}$, где $a_{ц.б.}={υ^2}/{R}$(1).

Из рисунка видно, что в проекции на оси Ох и Оу имеем.

$Ох: O=ma_{ц.б.}-T·sinα$(2)

$Оy: O=mg-T·cosα$(3)

Выразим силу натяжения нити $T$ и приравняем друг к другу: Из (2): $T={ma_{ц.б.}}/{sinα}={mυ^2}/{R·sinα}$(4)

Из (3): $T={mg}/{cosα}$(5). Разделим (5) на (4): ${mg}/{cosα}:{mυ^2}/{R·sinα}={T}/{T}⇒1={mg}/{cosα}·{R·sinα}/{mυ^2}⇒tgα={υ^2}/{gR}$(6) или $υ=√{gk·tgα}$(7)

Период колебаний $t={2πR}/{υ}$(8). Подставим (7) в (8) и найдем угол: $t={2πR}/{√{gk·tgα}}⇒t^2={4π^2R^2}/{gk·tgα}⇒tgα={4π^2}/{gt^2}⇒α=arctg({4π^2}/{gt^2})$(9). Тогда, $α=arctg({4·9.8596·0.1}/{10·4})≈5.63°≈6°$

Ответ: 6