Найдите наименьшее значение функции у = 7x — ln(x + 11)7 на отрезке [-10,5; 0].
ОДЗ: (x + 11)7 > 0, x + 11 > 0, x > −11.
На ОДЗ исходная функция примет вид: y = 7x − 7 ln (x + 11).
Найдём производную: y’ = 7 − 7 / (x + 11).
Определим нули производной: 7 − 7 / (x + 11) = 0, 1 / (x + 11) = 1, x = −10. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.
Из рисунка видно, что на отрезке [−10,5; −10] исходная функция убывает, а на отрезке [−10; 0] возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [−10,5; 0] достигается при x = −10 и равно y(−10) = 7 * (−10) − ln (−10 + 11)7 = −70.
Ответ: −70.