Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, используется неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать полученную двоичную последовательность. Вот этот код: А–00, Б–010, В–011, Г–101, Д–111. Можно ли сократить для одной из букв длину кодового слова так, чтобы код по-прежнему можно было декодировать однозначно? Коды остальных букв меняться не должны. Выберите правильный вариант ответа.
1) для буквы Б – 01 2) это невозможно
3) для буквы В – 01 4) для буквы Г – 01
Решение (1 способ, проверка условий Фано):
1) Для однозначного декодирования достаточно, чтобы выполнялось условие Фано или обратное условие Фано;
2) Проверяем последовательно варианты 1, 3 и 4; если ни один из них не подойдет, придется выбрать вариант 2 («это невозможно»);
3) Проверяем вариант 1: А–00, Б–01, В–011, Г–101, Д–111.
«прямое» условие Фано не выполняется (код буквы Б совпадает с началом кода буквы В);
«обратное» условие Фано не выполняется (код буквы Б совпадает с окончанием кода буквы Г); поэтому этот вариант не подходит;
4) Проверяем вариант 3: А–00, Б–010, В–01, Г–101, Д–111.
«прямое» условие Фано не выполняется (код буквы В совпадает с началом кода буквы Б);
«обратное» условие Фано не выполняется (код буквы В совпадает с окончанием кода буквы Г); поэтому этот вариант не подходит;
5) Проверяем вариант 4: А–00, Б–010, В–011, Г–01, Д–111.
«прямое» условие Фано не выполняется (код буквы Г совпадает с началом кодов букв Б и В); но «обратное» условие Фано выполняется (код буквы Г не совпадает с окончанием кодов остальных буквы); поэтому этот вариант подходит;
Ответ: 4
Решение (2 способ, дерево):
1) Построим двоичное дерево, в котором от каждого узла отходит две ветки, соответствующие выбору следующей цифры кода – 0 или 1; разместим на этом дереве буквы А, Б, В, Г и Д так, чтобы их код получался как последовательность чисел на рёбрах, составляющих путь от корня до данной буквы (красным цветом выделен код буквы В – 011):
3) Теперь проверим варианты ответа: предлагается перенести одну из букв, Б, В или Г, в узел с кодом 01, выделенный синим цветом
4) Видим, что при переносе любой из этих букв нарушится условие Фано; например, при переносе буквы Б в синий узел она оказывается на пути от корня до В, и т.д.; это значит, что предлагаемые варианты не позволяют выполнить прямое условие Фано
5) Хочется уже выбрать вариант 2 («это невозможно»), но у нас есть еще обратное условие Фано, для которого тоже можно построить аналогичное дерево, в котором движение от корня к букве дает её код с конца (красным цветом выделен код буквы В – 011, записанный с конца):
6) В заданных вариантах ответа предлагается переместить букву Б, В или Г в синий узел; понятно, что Б или В туда перемещать нельзя – перемещённая буква отказывается на пути от корня к букве Г; а вот букву Г переместить можно, при этом обратное условие Фано сохранится
Ответ: 4