Перейти к содержанию

Решите уравнение log22(2sinx+1)−17log2(2sinx+1)+16=0

а) Решите уравнение $log_2^2(2 sin x + 1) — 17 log_2(2 sin x + 1) + 16 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[{π}/{4};2π]$.


а) После замены $t = log_2(2 sin x+1)$ исходное уравнение примет вид $t^2-17t+16 = 0$. Корни этого уравнения $t = 1, t = 16$. Возвращаясь к переменной $x$, получим:

$[tablelog_2(2 sin x + 1) = 1; log_2(2 sin x + 1) = 16;$ $[table2 sin x + 1 = 2;; 2sin x + 1 = 2^{16};$

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим: $sin x = {1}/{2}; x = (-1)^n{π}/{6} + πn; n ∈ Z$.

б) Запишем решение уравнения в виде $x = {π}/{6} + 2πn; n ∈ Z$ или $x = {5π}/{6} + 2πk; k ∈ Z$ и выясним, для каких целых значений $n$ и $k$ справедливы неравенства ${π}/{4}≤{π}/{6}+2πn≤2π$ и ${π}/{4}≤{5π}/{6}+2πk≤2π$.

Получим: ${1}/{24}≤n≤{11}/{12}$ и $-{7}/{24}≤k≤{7}/{12}$, откуда следует, что нет целых значений $n$, удовлетворяющих неравенству ${1}/{24}≤n≤{11}/{12}; k = 0$ — единственное целое $k$, удовлетворяющее неравенству $-{7}/{24}≤k≤{7}/{12}$.

При $k = 0$ $x = {5π}/{6} + 2π·0 = {5π}/{6}$. Итак, ${5π}/{6}$ — корень уравнения, принадлежащий отрезку $[{π}/{4};2π]$.

Ответ: а)$(-1)^{n}{π}/{6}+πn,n∈Z$;б)${5π}/{6}$