Перейти к содержанию

Решите уравнение sin2xcos(π+x)=−√2

а) Решите уравнение ${sin 2x}/{cos(π + x)}= -√2$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(-2π;-{π}/{2})$.


а)${sin2x}/{cos(π + x)}=-√2$.

Зная, что $sin2x = 2sinxcosx, cos(π + x)=-cosx$, получим: ${2sinxcosx}/{-cosx}=-√2$.

Учитывая, что $cosx≠0, x≠{π}/{2} + πm, m∈Z$, имеем:

$2sinx=√2$,

$sinx = {√2}/{2}$,

$x = {π}/{4} + 2πn, n∈Z$;

$x = {3π}/{4} + 2πk, k∈Z$.

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку $(-2π;-{π}/{2})$.

1. $x = {π}/{4} + 2πn, n∈Z$.

$-2π < {π}/{4} + 2πn < -{π}/{2},$

$-2 < {1}/{4} + 2n < -{1}/{2},$

$-2-{1}/{4} < 2n < -{1}/{2}-{1}/{4},$

$-{9}/{4} < 2n < -{3}/{4},$

$-{9}/{8} < n < -{3}/{8},$

$n = -1$.

При $n =-1$

$x = {π}/{4}-2π=-{7π}/{4}$.

2. $x = {3π}/{4} + 2πk, k∈Z$.

$-2π < {3π}/{4} + 2πk < -{π}/{2}$,

$-2 < {3}/{4} + 2k < -{1}/{2}$,

$-2-{3}/{4} < 2k < -{1}/{2}-{3}/{4}$,

$-{11}/{4} < 2k < -{5}/{4}$,

$-{11}/{8} < k < -{5}/{8}$,

$k = -1$.

При $k = -1$

$x = {3π}/{4}-2π = -{5π}/{4}$.

Ответ: а)${π}/{4}+2πn,{3π}/{4}+2πk,n,k∈Z$;б)$-{7π}/{4};-{5π}/{4}$