а) Решите уравнение $2 cos^2 x — 5 sin(x + {3π}/{2})+ 2 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[{π}/{2};{3π}/{2}]$.
а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения:
$sin(x+{3π}/{2})=-cosx,$
$2cos^2x + 5 cos x + 2 = 0$
Обозначим $cos x = t, −1 ≤ t ≤ 1$, получим $2t^2 + 5t + 2 = 0. t_1 = {−5 − 3}/{2·2} = −2$ — не удовлетворяет условию $−1 ≤ t ≤ 1. t_2 = {−5 + 3}/{2· 2} = −{1}/{2}$.
Вернёмся к исходной переменной: $cos x = − {1}/{2}$,
$x = ±(π − {π}/{3}) + 2πn, n ∈ Z , x = ±{2π}/{3} + 2πn, n ∈ Z.$
б) Корни, принадлежащие отрезку $[{π}/{2}; {3π}/{2}]$, найдём с помощью единичной окружности. Получим числа ${2π}/{3}; {4π}/{3}$.
Ответ: а)$±{2π}/{3}+2πn,n∈Z;$ б) ${2π}/{3};{4π}/{3}$