Перейти к содержанию

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых или оканчивается на 1, или чётное

На доске написано $30$ различных натуральных чисел, каждое из которых или оканчивается на $1$, или чётное. Сумма всех чисел равна $771$. а) Может ли на доске быть выписано ровно $4$ числа, оканчивающихся на $1$? б) Может ли быть выписано ровно $13$ чисел, оканчивающихся на $1$? в) Найдите наименьшее возможное количество чисел, оканчивающихся на $1$, среди выписанных.


а) Нет, не может. Сумма $4$ чисел, оканчивающихся на $1$, чётна, сумма $26$ чётных чисел — тоже чётна, следовательно, сумма $4$ чисел, оканчивающихся на $1$, и $26$ чётных чисел — чётна и не равна $771$. б) Нет. Если на доске выписаны $13$ разных чисел, оканчивающихся на $1$, то их сумма не меньше чем $1+11+… +111+121={122} / {2}⋅ 13=793>771$. Тогда сумма всех выписанных чисел тем более больше $771$. в) Пусть на доске $n$ чисел, оканчивающихся на $1$, тогда $(30-n)$ чисел — чётные. Следовательно, сумма всех чисел не меньше чем $1+11+…+(1+10(n-1))+2⋅ 1+2⋅ 2+… +2⋅ (30-n)=$ ${1+1+10(n-1)} / {2}⋅ n+{(30-n)(31-n)} / {2}⋅2=6n^2-65n+930$. Должно выполняться неравенство $6n^2-65n+930⩽771$, то есть $6n^2-65n+159⩽0$. Решим уравнение $6n^2-65n+159=0$, $ n_{1,2}={65±√ {409}} / {12}$. Неравенство $6n^2-65n+159⩽0$ выполняется при ${65-√ {409}} / {12}⩽ n⩽{65+√ {409}} / {12}$. Значит, $n⩾{65-√ {409}} / {12}>{65-21} / {12}>3$. Так как $n$ — натуральное число, то $n⩾4$. Но $n$ должно быть нечётным (иначе сумма всех чисел была бы чётной), значит, $n⩾5$. Приведём пример для $n=5$. Пусть выписаны числа $1$, $11$, $21$, $31$, $41$, а также $2⋅1$, $2⋅2$, $2⋅ 3$, … $2⋅ 24$ и число $66$.

Ответ: а)нет; б)нет; в)5