Перейти к содержанию

На доске написаны 40 натуральных чисел

На доске написаны $40$ натуральных чисел. Какие-то из них белые, а какие-то — зелёные. Белые числа кратны $9$, зелёные кратны $4$. Все белые числа отличаются друг от друга, все зелёные тоже отличаются друг от друга, среди чисел разных цветов могут быть одинаковые. а) Может ли сумма всех написанных чисел быть меньше $3280$, если все они зелёные? б) Может ли сумма всех чисел равняться $2453$, если только $1$ число белое? в) Найдите наименьшее количество белых чисел, если сумма всех чисел равна $2453$.


а) Нет, не может. Наименьшая сумма $40$ различных натуральных чисел, кратных $4$, равна $4·1+ 4·2+ . . .+ 4·40=4(1 + 2 + … + 40) = {4·41·40}/{2}= 3280$.

б) Нет, не может. Сумма $17$ чисел, оканчивающихся на $7$, не меньше, чем $7 + 17 + … + 167 = {7 + 167}/{2}·17 = 1479$. Значит, при $17$ числах с последней цифрой $7$ сумма всех выписанных чисел больше $840$.

б) Нет, не может. Если только $1$ число белое, то остальные $39$ чисел — зелёные и их сумма не меньше чем $4·1 + 4·2 + … + 4·39 = 4(1 + 2 + … 39) = 4·{40·39}/{2} = 3120$, а сумма всех чисел не меньше, чем $3120 + 9 = 3129$.

в) Пусть $m$ — количество белых чисел, тогда зелёных чисел выписано $(40 — m)$. Сумма всех выписанных чисел не меньше, чем $9(1+2+…+m)+4(1+2+…+40-m) = 9·{(m+ 1)m}/{2} +4·{(41 -m)(40 -m)}/{2}$. Должно выполняться неравенство ${9(m+ 1)m}/{2} + {4(41-m)(40 -m)}/{2} ≤ 2453, 13m^2 — 315m + 1654 ≤ 0$. Перебирая натуральные значения $m$, получаем, что наименьшее значение $m$, для которого выполнено это неравенство, равно $8$. Действительно, при $m ≤ 5, 315m < 1654$, следовательно, $13m^2 - 315m + 1654 > 0$. При $m = 6, 13m^2 > 360, 13m^2 + 1654 > 2000, 315m < 2000$. Аналогично, при $m = 7$ выполняется $13m^2-315m+1654 > 0$. При $m = 8$ выполняется $13m^2-315m+1654 < 0$. Построим пример для $m = 8$. Наименьшее значение суммы в этом случае равно $9·{9·8}/{2} +4·{33·32}/{2} = 2436$, что на $17$ меньше требуемой суммы.

Учитывая, что $17 = 9 + 4 + 4$, построим один из возможных примеров. Выписаны белые числа $9·1, 9·2, . . . , 9·6, 9·7$ и $9·9$ и зелёные числа $4·1, 4·2, . . . , 4·30, 4·31$ и $4·34$.

Ответ: а)нет; б)нет; в)8