Перейти к содержанию

Для 52 студентов профессор подготовил две контрольные работы

Для $52$ студентов профессор подготовил две контрольные работы. Любой студент может написать только одну из них или обе. За каждую контрольную работу можно получить от $0$ до $30$ баллов. Средний балл за каждую из контрольных работ равен $17$. Каждый студент называет наивысший из полученных им баллов профессору. Если студент написал одну работу, то он называет балл за неё. а) Может ли среднее арифметическое всех названных баллов быть больше $17$? б) Может ли среднее арифметическое равняться $13$, если обе конт-
рольные написали ровно четыре студента? в) Какое наименьшее количество студентов должно было написать обе контрольные, чтобы среднее арифметическое названных баллов могло равняться $13$?


а) Пусть два студента написали обе контрольные на $4$ балла, $25$ студентов написали только первую контрольную (двое — на $30$ баллов, $23$ — на $17$ баллов), $25$ студентов написали только вторую контрольную (двое — на $30$ баллов, $23$ — на $17$ баллов). Тогда средний балл за каждую контрольную равен ${2⋅ 4+2⋅ 30+23⋅17} / {27}=17$, а средний балл среди названных равен ${2⋅ 4+4⋅ 30+46⋅17} / {52}=17{,}5>17$. б) Нет, не может. Предположим противное. Тогда сумма названных баллов равна $13⋅ 52=676$. Всего написанных контрольных $56$ и сумма набранных за них баллов равна $56⋅ 17=952$. При этом $952-676=276$, то есть $276$ баллов из числа заработанных не было подано профессору. Эти $276$ баллов могли быть заработаны только теми $4$ студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из них не назвал балл за $1$ контрольную, то есть не более $30$ баллов. В сумме количество баллов, не поданных профессору, не превышает $4⋅ 30=120$. Но $120<276$, поэтому наше предположение не верно. в) Пусть $n$ студентов написали обе контрольные, тогда всего было написано $(52+n)$ работ и общее количество заработанных баллов равно $17(52+n)=884+17n$. Сумма баллов, поданных профессору, равна $52⋅ 13=676$. Тогда не поданными остались $(884+17n)-676$ баллов, то есть $208+17n$ баллов. Эти баллы могли быть получены только теми студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из этих студентов оставил не поданными не более $30$ баллов. Следовательно, всего остались не поданными не более $30n$ баллов. Получим неравенство $208+17n⩽30n$, $n⩾16$. Приведём пример для $n=16$. Пусть $16$ студентов написали обе контрольные на $30$ баллов, $18$ — только первую контрольную ($3$ — на $30$ баллов, $1$ — на $8$, остальные на $0$) и $18$ написали только вторую контрольную с теми же результатами.

Ответ: а)да; б)нет; в)16