Перейти к содержанию

Маша задумала 6 различных натуральных чисел и проделывает с ними такую операцию: сначала находит среднее арифметическое первых двух чисел, затем — среднее арифметическое полученного результата и третьего числа, после — среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, затем — среднее арифметическое полученного числа и пятого числа, и наконец — среднее арифметическое полученного результата и шестого числа

Маша задумала $6$ различных натуральных чисел и проделывает с ними такую операцию: сначала находит среднее арифметическое первых двух чисел, затем — среднее арифметическое полученного результата и третьего числа, после — среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, затем — среднее арифметическое полученного числа и пятого числа, и наконец — среднее арифметическое полученного результата и шестого числа. Полученный результат она обозначает через $M$. Далее Маша находит число $A$ — среднее арифметическое исходных чисел. а) Возможно ли, что $A=M$? б) Возможно ли, что $M=6A$? в) Найдите наибольшее натуральное значение $n$, для которого возможно, что $M=nA$.


а) Пусть Маша задумала числа $a, b, c, d, e$ и $f$. Тогда $M = {a + b + 2c + 4d + 8e + 16f}/{32}; A = {a + b + c + d + e + f}/{6}$.

$M = A$, тогда и только тогда, когда $3a + 3b + 6c + 12d + 24e + 48f = 16a + 16b + 16c + 16d + 16e + 16f; 8e + 32f = 13(a + b) + 10c + 4d$.

Пусть $a = 1, b = 3, c = 6, d = 4, e = 8, f = 2$. При этих значениях требуемое равенство выполнено.

б) Предположим, что $M = 6A$. Тогда ${a + b + 2c + 4d + 8e + 16f}/{32} = a + b + c + d + e + f, 31a + 31b + 30c + 28d + 24e + 16f = 0$.

Это равенство невозможно, так как $a, b, c, d, e$ и $f$ — натуральные числа.

в) Пусть $M = nA$, тогда $3a + 3b + 6c + 12d + 24e + 48f = 16n(a + b + c + d + e + f)$,

$(16n — 3)a + (16n — 3)b + (16n — 6)c + (16n — 12)d + (16n — 24)e +(16n — 48)f = 0$.

При $n ≥ 3$ это равенство невозможно, так как $a, b, c, d, e$ и $f$ — натуральные числа.

Приведём пример для $n = 2$. Тогда должно выполняться равенство $29(a + b) + 26c + 20d + 8e = 16f$.

Пусть $a = 1, b = 3, c = 2, d = 4, e = 5, f = 18$. При этих значениях равенство выполняется.

Ответ: а)да; б)нет; в)2