Перейти к содержанию

На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50

На доске было написано $30$ натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше $10$, но не превосходит $50$. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось $21$. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше $6$, с доски стёрли. а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше $16{,}5$? б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше $18$, но меньше $19$? в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.


а) Пусть первоначально на доске было 20 чисел, равных 11, 10 чисел, равных 41. Их среднее арифметическое равно ${20 · 11 + 10 · 41}/{30} = 21$.

Среднее арифметическое получившихся чисел равно ${10 · 20.5}/{10} = 20.5$, $20.5 > 16.5$. Среднее арифметическое оставшихся на доске чисел могло быть больше $16.5$.

б) Пусть с доски было стёрто $k$ чисел, сумма оставшихся была равна $S$, а стала ${S}/{2}$. По условию оказались стёрты только числа получившиеся из 11, поэтому ${S + 11k}/{30} = 21$.

Отсюда, $S = 630 — 11k$.

Среднее арифметическое оставшихся чисел равно ${S}/{2(30 — k)}$. Тогда $18 < {630 - 11k}/{2(30 - k)} < 19; 1080 - 36k < 630 - 11k < 1140 - 38k$,

${table1080 — 36k < 630 - 11k; 1140 - 38k > 630 — 11k;$ ${table450 < 25k; 510 > 27k;$ ${tablek > 18; k < 18{24}/{27};$. Таких целых чисел $k$ нет.

Среднее арифметическое оставшихся на доске натуральных чисел не могло оказаться больше 18 и меньше 19.

в) Найдём наибольшее возможное значение среднего арифметического $A = {630 — 11k}/{2(30 — k)}$ оставшихся чисел в зависимости от целочисленного аргумента $k$ — первоначального количества чисел 18 на доске.

Имеем $A = {630 — 11k}/{2(30 — k)} = {11k — 630}/{2k — 60} = {{11}/{2}(2k — 60) — 300}/{2k — 60} = {11}/{2} — {300}/{2k — 60} = {11}/{2} + {150}/{30 — k}$.

Число $A$ будет наибольшим, если наибольшим будет значение аргумента $k$. Оценим это значение. Каждое из первоначально написанных на доске чисел было не более $50$, в конце на доске осталось $30 — k$ чисел, поэтому для суммы оставшихся чисел $S = 630 — 11k$ должно выполняться неравенство $630 — 11k ≤ 50(30 — k)$.

$39k ≤ 870, k ≤ {870}/{39} = 22{12}/{39}, k ∈ N , k ≤ 22$.

Тогда $A ≤ {11}/{2} + {150}/{30 — 22} = 24{1}/{4}$.

Приведём пример, показывающий, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел действительно могло стать равным $24{1}/{4}$. Пусть первоначально на доске было записано 22 числа, равных 11, 7 чисел, равных 50 и 1 число, равное 38.

Их среднее арифметическое ${22 · 11 + 7 · 50 + 38}/{30} = {242 + 350 + 38}/{30} = 21$.

Среднее арифметическое оставшихся чисел стало равно ${7 · {50}/{2} + {38}/{2}}/{8} = {388}/{16} = 24.25$.

Ответ: а)да; б)нет; в)24.25