Перейти к содержанию

Найдите все целые значения параметра a, при каждом из которых уравнение (ax−2−x)(3×5+7×3+2x+4−3x2a−a)=0 имеет хотя бы один целый корень

Найдите все целые значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(ax-2-x)(3x^5+7x^3+2x+4-3x^2a-a)=0$ имеет хотя бы один целый корень.


Рассмотрим два случая:

1) $ax — 2 — x = 0$; при $x ≠ 0$ получим $a = {2 + x}/{x} = 1 + {2}/{x}$.

Так как по условию $a$ и $x$ целые числа, то ${2}/{x}$ тоже целое число. Это возможно, если $x = ±1$ или $x = ±2$.

$x = 1; a — 2 — 1 = 0; a = 3;$

$x = -1; -a — 2 — (-1) = 0; a = -1;$

$x = 2; 2a — 2 — 2 = 0; a = 2;$

$x = -2; -2a — 2 — (-2); a = 0.$

Если $x = 0$, то $0 — 2 — 0 = 0$ не выполняется.

2) $3x^5 + 7x^3 + 2x + 4 — 3x^2a — a = 0,$

$a(3x^2 + 1) = 3x^5 + 7x^3 + 2x + 4,$

$a = {3x^5 + 7x^3 + 2x + 4}/{3x^2 + 1}$

$a = x^3 + 2x + {4}/{3x^2 + 1}$. Поскольку $a$ и $x$ — целые числа, то ${4}/{3x^2 + 1}$ также целое число. Это возможно, если $3x^2 + 1 = 4$, или $3x^2 + 1 = 2$, или $3x^2 + 1 = 1$.

Получаем $x^2 = 1$ или $3x^2 = 1$ или $x^2 = 0$.

Целые корни:

$x = 1$, тогда $a = 1^3 + 2·1 + {4}/{3·1^2 + 1} = 4$;

$x = -1$, тогда $a = (-1)^3 + 2·(-1) + {4}/{3·(-1)^2 + 1} = -2$;

$x = 0$, тогда $a = 0 + 0 + 4 = 4$.

Целые корни есть при значениях $a: -2; -1; 0; 2; 3; 4$.

Ответ: -2$;$-1$;$0$;$2$;$3$;$4