Перейти к содержанию

Найдите все значения параметра p, при каждом из которых система неравенств {px⩾5,p<√x−1,3x⩾p+2 имеет хотя бы одно решение на отрезке [4;5]

Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых система неравенств ${{table {px⩾ 5,}; {p<√ {x-1},}; {3x⩾ p+2};}$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4; 5]$.


ОДЗ: $x ≥ 1$. Построим следующие графики $px = 5, p = √{x — 1}$ и $3x = p + 2$ в системе координат $Opx$ при $x > 0$ и изобразим решение системы

${tablep ≥ {5}/{x}; p < √{x - 1}; p ≤ 3x - 2;$

Из рисунка видно, что искомые значения $p$ удовлетворяют условию $p_1 ≤ p < p_2$.

Ординату точки $A$ можно найти, подставив $x = 5$ в уравнение $p = {5}/{x}; p_1 = {5}/{5} = 1$.

Ординату точки $B$ можно найти, подставив $x = 5$ в уравнение $p = √{x — 1}: p_2 = √{5 — 1} = √4 = 2$. Отсюда $p ∈ [1; 2)$.

Ответ: [1;2)