Перейти к содержанию

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений {y=a−x,|x−2|(y+5x−10)=(x−2)3 имеет ровно четыре различных решения

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений ${{table {y=a-x{,}}; {|x-2|(y+5x-10)=(x-2)^3};}$ имеет ровно четыре различных решения.


При замене $y + x = t$ получим систему уравнений ${tablet=a; .|x — 2|(t + 4x — 10) = (x — 2)^3;$ которая имеет, столько же решений, что и заданная система.

График первого уравнения системы $t = a$ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.

Построим график второго уравнения.

1) При $x ≥ 2$ получим $(x — 2)(t + 4x — 10) = (x — 2)^3$,

$(x — 2)(t + 4x — 10 — (x — 2)^2) = 0$,

$(x — 2)(t — x^2 + 8x — 14) = 0$,

$x — 2 = 0$ или $t — x^2 + 8x — 14 = 0$.

$x = 2$ — вертикальная прямая.

$t = x^2 — 8x + 14$ — парабола с вершиной $(4; -2), t(2) = 2$.

2) При $x < 2$ получим $-(x - 2)(t + 4x - 10) = (x - 2)^3$,

$(x — 2)(t + 4x — 10 + (x — 2)^2) = 0$.

$x — 2 = 0$ не выполняется при $x < 2$.

$t + 4x — 10 + (x — 2)^2 = 0, t = -x^2 + 6$ — парабола с вершиной $(0; 6), t(2) = 2$.

На рисунке изображен график второго уравнения полученной системы.

График прямой $t = a$ и уравнения $|x — 2|(t + 4x — 10) = (x — 2)^3$ имеют ровно $4$ общие точки при $-2 < a < 2, 2 < a < 6$.

Ответ: (-2;2);(2;6)