Перейти к содержанию

При каком значении a множеством решений неравенства 1+2−x1+2x>4√x2+2ax+a2 является множество всех отрицательных чисел

При каком значении $a$ множеством решений неравенства
${1+2^{-x}} / {1+2^x}>{4} / {√ {x^2+2ax+a^2}}$ является множество всех отрицательных чисел?


Сократив левую часть неравенства на $1+2^x$ и применив свойство квадратного корня $√ {m^2}=|m|$, получим равносильное неравенство ${1} / {2^x}>{4} / {|x+a|}$ или ${1} / {2^{x+2}}>{1} / {|x+a|}$. Так как обе части неравенства положительны, то $2^{x+2}<|x+a|$, при условии $x≠ -a$. Графиком функции $y=2^{x+2}$ является график функции $y=2^x$, сдвинутый на $2$ единицы влево вдоль оси $Ox$. Графиком функции $y=|x+a|$ является график функции $y=|x|$, сдвинутый вдоль оси $Ox$ в зависимости от величины и знака числа $a$. Учитывая, что $x≠ -a$, точка $(-a;0)$ на графиках функций $y=|x+a|$ является выколотой (см. рис.). [attachment post_id=7100] Множество отрицательных чисел будет решением неравенства, если точка пересечения обоих графиков лежит на оси $Oy$. Это произойдёт при $a=-4$. Графическая иллюстрация приведена на рисунке.

Ответ: -4