При каком значении $a$ множеством решений неравенства
${1+3^x} / {1+3^{-x}}>{3} / {|x+a|}$ является множество всех положительных чисел?
Сократив левую часть неравенства на $1 + 3^x$, получим равносильное неравенство $3x > {3}/{|x + a|}$ или $3^{x-1} > {1}/{|x + a|}$. Так как обе части неравенства положительны, то ${1}/{3^{x-1}} < |x + a| (x ≠ -a)$ или $({1}/{3})^{x-1} < |x + a|$.
Графиком функции $y = ({1}/{3})^{x-1}$ является график функции $y = ({1}/{3})^x$ сдвинутый на $1$ единицу вправо вдоль оси $Ox$. Графиком функции $y = |x + a|$ является график функции $y = |x|$, сдвинутый вдоль оси $Ox$ в зависимости от величины и знака числа $a$. Учитывая, что $x ≠ -a$, точка $(-a; 0)$ на графиках функций $y = |x + a|$ выколота.
Множество положительных чисел будет решением этого неравенства, если точка пересечения обоих графиков лежит на оси $Oy$. Это произойдет при $a = 3$. Графическая иллюстрация приведена на рисунке.
Ответ: 3