В апреле планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на некоторый срок (целое число лет)

1. Пусть $n$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на апрель месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на апрель предыдущего года на сумму ${12}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на апрель месяц в млн рублей по годам имеет вид:

$12; 12 — {12}/{n} = 12·{n — 1}/{n}; 12 — 2·{12}/{n} = 12·{n — 2}/{n}; … ; 12·{1}/{n}$.

2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 2.5% по сравнению с концом предыдущего года.

Пусть $d$ — долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{2.5}/{100}$.

Согласно условию к апрелю этого года он должен стать равным $d — {12}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {2.5}/{100}) — (d — {12}/{n}) = d·{2.5}/{100} + {12}/{n}$.

Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :

$x_1 = 12 · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;

$x_2 = 12 · {n — 1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;

$x_3 = 12 · {n — 2}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;

… ;

$x_n = 12 · {1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$.

Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$. Согласно условию получаем: $S_n = {5.75}/{2}·n = 2.875 ·n$.

3. Найдём теперь $n$ из условия $x_1 + x_n = 13.5$:

$13.5={12·{2.5}/{100} + {12}/{n} + 12·{1}/{n}·{2.5}/{100} + {12}/{n}}/{2}·n $;

$27 = 0.3n + 0.3 + 24; 2.7 = 0.3n; n = 9.$.

Ответ: 9