Перейти к содержанию

Первого июля был взят кредит в банке на сумму 394400  рублей на 4 года

Первого июля был взят кредит в банке на сумму $394400$  рублей на $4$ года. Условия его возврата таковы:

— в конце декабря каждого года долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с долгом на первое июля;

— с первого января по $30$ июня каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом;

— сумма платежа каждый год одна и та же (о таком кредите говорят «на четыре года равными платежами с $12{,}5$ процентами годовых»).

Чему будет равна переплата по кредиту в рублях после полного погашения кредита?


В конце декабря первого года долг возрастёт на $12.5%$ и станет равным $394 400·1.125$. Пусть $x$ — сумма в рублях ежегодного платежа. Тогда после внесения платежа в $x$ рублей к началу июля второго года долг станет равным $394 400·1.125 — x$ рублей.

В конце декабря второго года этот долг опять увеличится на $12.5%$ и с января по конец июня третьего года будет внесён платеж в $x$ рублей.

Первого июля третьего года долг составит $(394 400·1.125-x)·1.125-x$. Аналогично рассуждая получим, что долг на 1-ое июля пятого года будет равен

$(((394 400·1.125-x)·1.125-x)·1.125-x)·1.125-x$. Так как после четырёх внесений долг исчерпается, то получаем уравнение:

$(((394 400·1.125 — x)·1.125 — x)·1.125 — x)·1.125 — x = 0$;

$394 400·(1.125)^4 — x((1.125)^3 + (1.125)^2 + 1.125 + 1) = 0$;

$x = {394 400·(1.125)^4}/{(1.125)^3 + (1.125)^2 + 1.125 + 1}$.

Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:

$x = {394 400·(1.125)^4}/{{(1.125)^4 — 1}/{1.125 — 1}} = {394 400·(1.125)^4·0.125}/{(1.125)^4 — 1}$.

Заметим, что $1.125 = {9}/{8}$, а $0.125 = {1}/{8}$, поэтому

$x = {394 400·(1.125)^4·0.125}/{(1.125)^4 — 1} = {394 400·9^4·8^4}/{8^4·8·(9^4 — 8^4)} = {394 400·6561}/{8·(6561 — 4096)}$;

$x = {394 400·6561}/{8·2465} = {394 400·6561}/{19720} = 20·6561 = 131 220$.

Так как вся сумма выплат равна $4x$, то она равна $4·131 220 = 524 880$.

Сумма переплат по кредиту равна $524 880- 394 400 = 130 480$ рублей.

Ответ: 130.480