В июле $2019$ года планируется взять кредит в банке в размере $N$ млн рублей, где $N$ — натуральное число, сроком на $3$ года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год | Июль 2019 | Июль 2020 | Июль 2021 | Июль 2022 |
Долг (в млн руб.) | $N$ | $0{,}6N$ | $0{,}4N$ | $0$ |
Найдите наименьшее значение $N$, при котором каждая из выплат будет составлять целое число миллионов рублей.
По условию в январе каждого года долг увеличивается на $20%$, значит, долг в январе каждого года равен
$1.2N; 0.6 · 1.2N; 0.4 · 1.2N$, то есть $1.2N, 0.72N, 0.48N$.
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют: $1.2N — 0.6N; 0.72N — 0.4N; 0.48N — 0$, то есть $0.6N, 0.32N, 0.48N$.
Представим коэффициенты $0.6; 0.32; 0.48$ в виде несократимых дробей, получим ${3}/{5}, {8}/{25}, {12}/{25}$.
По условию числа $N , {3N}/{5}, {8N}/{25}, {12N}/{25}$ должны быть целыми. Числа $3$ и $5, 8$ и $25, 12$ и $25$ образуют пары взаимно простых чисел, значит, число $N$ должно делиться на $5$ и $25$. Наименьшее общее кратное этих чисел равно $25$.
Наименьшее значение $N$ равно $25$ млн рублей.
Ответ: 25