Перейти к содержанию

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 стороны оснований AB и BC равны соответственно 6 и 4, а боковое ребро равно 3

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ стороны оснований $AB$ и $BC$ равны соответственно $6$ и $4$, а боковое ребро равно $3$. На ребре $A_{1}B_1$ отмечена точка $M$, а на луче $BC$ — точка $F$, причём $A_{1}M = MB_1$ и $BF = AB$. Плоскость $AMF$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $N$.

а) Докажите, что $CN : C_{1}N = 2 : 1$.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.


а) 1. Построим сечение параллелепипеда плоскостью $AMF$. Отрезок $AF$ пересекает ребро $DC$ в точке $P$.

В плоскости $ABB_1$ проведём лучи $AM$ и $BB_1, AM$ пересекает $BB_1$ в точке $S$. В плоскости $BCC_1$ проведём отрезок $SF, SF$ пересекает $B_1C_1$ в точке $K$, а $CC_1$ в точке $N$. Пятиугольник $AMKNP$ — искомое сечение.

$AB ‖ MB1, AB = 2MB_1$, значит, $MB_1$ — средняя линия $∆SBA$, отсюда $MB_1 ={1}/{2} A_1B_1 = 3$. $B_1K ‖ BC, BB_1 = B_1S$, отсюда $B_1K$ — средняя линия $∆SBF, B_1K ={1}/{2} BF = 3$, тогда $KC_1 = 1, CF = 2$. $∆FCN ~∆KC_1N$ по первому признаку подобия ($∠C = ∠C_1 = 90°, ∠1 = ∠2$ как вертикальные). Из подобия следует: ${CN}/{C_1N} = {CF}/{C_1K} ={2}/{1}$. Что и требовалось доказать.

б) 1. Введём прямоугольную систему координат, как показано на рисунке.

2. В этой системе координат найдём координаты нужных нам точек $A(0; 0; 0), M(0; 3; 3), F(6; 6; 0), B(0; 6; 0)$.

3. Найдём координаты двух неколлинеарных векторов, лежащих в плоскости $AMF: {AM}↖{→}(0; 3; 3), {AF}↖{→}(6; 6; 0)$.

4. Обозначим через ${n}↖{→}(x; y; z)$ — вектор нормали к плоскости $AMF$, координаты которого нам нужно найти. Искомый вектор перпендикулярен векторам ${AM}↖{→}$ и ${AF}↖{→}$.

5. Получим систему уравнений ${table.{AM}↖{→}⋅{n}↖{→}=0; .{AF}↖{→}⋅{n}↖{→}=0;$

${table·x + 3y + 3z = 0; 6·x + 6y + 0z = 0;$

При $x = 1$ эта система примет вид: ${tabley+z=0; 6+6y=0;$

Её решение: $y = -1, z = 1$.

Имеем ${n}↖{→}(1;-1; 1)$.

$x — y + z + d = 0$.

С учётом того, что плоскость проходит через начало координат, $d = 0$ и уравнение примет вид: $x — y + z = 0$.

Искомое расстояние от точки $B(0; 6; 0)$ найдём по формуле

$ρ={|1·0 — 1·6 + 1·0|}/{√{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} ={6}/{√3}=2√3$.

Ответ: $2√3$