Перейти к содержанию

В правильной треугольной пирамиде MNPQ с вершиной M сторона основания равна 15, высота равна √6

В правильной треугольной пирамиде $MNPQ$ с вершиной $M$ сторона основания равна $15$, высота равна $√ {6}$. На рёбрах $NP$, $NQ$ и $NM$ отмечены точки $E$, $F$, $K$ соответственно, причём $NE=NF=3$ и $NK={9} / {5}$. а) Докажите, что плоскости $EFK$ и $MPQ$ параллельны. б) Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $MPQ$.


а) Докажем, что $EFK ‖ MPQ$. Воспользуемся признаком параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

В плоскости $MPQ$ возьмём прямые $QP$ и $MQ$, а в плоскости $EFK$ — прямые $FE$ и $KF$. Пусть $O$ — центр основания.

В $△MNO: ∠NOM = 90°$ и по теореме Пифагора $NM = √{NO^2 +MO^2}$. Найдём $NO$: треугольник $NPQ$ — правильный, все его стороны равны, а высота $NA = {a√3}/{2}$, где $a$ — сторона треугольника $NPQ$. $NO = {2}/{3}NA = {2}/{3}·{a√3}/{2} = {a√3}/{3}$, то есть $NO = {15√3}/{3} = 5√3$. B $△NMO: ∠MON = 90°, NM = √{MO^2 + NO^2} = √{(5√3)^2 + 6} = √{75 + 6} = √{81} = 9$.

1) $△NKF∼△NMQ$, так как ${NK}/{NM} ={{9}/{5}}/{9} ={1}/{5}, {NF}/{NQ} = {3}/{15} = {1}/{5}$ и $∠MNQ$ — общий. Из подобия следует, что $∠NKF = ∠NMQ$. Это соответственные углы при прямых $KF$ и $MQ$ и секущей $NM$. Значит, $KF ‖ MQ$.

2) $△NEF∼△NPQ$, так как ${NE}/{NP} ={3}/{15} = {1}/{5}, {NF}/{NQ} ={3}/{15} = {1}/{5}$ и $∠PNQ$ — общий. Из подобия следует, что $∠NEF = ∠NPQ$. Это соответственные углы при прямых $EF$ и $PQ$ и секущей $NP$. Значит, $EF ‖ PQ$.

Итак, две пересекающейся прямые $KF$ и $FE$ плоскости $KFE$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $MQ$ и $PQ$ плоскости $MPQ$, следовательно, $KFE ‖ MPQ$.

б) Найдём расстояние от точки $K$ до плоскости $MPQ$. Так как плоскость $KFE$ параллельна плоскости $MPQ$, то расстояние от точки $K$ до плоскости $MPQ$ равно расстоянию от точки $B$ до плоскости $MPQ$ и оно равно длине отрезка $BD$ ($BD$ — перпендикуляр к $AM$. Докажем это.

$NA ⊥ QP$ и $MA ⊥ QP$ (как высоты треугольников $NPQ$ и $MPQ$), значит, прямая $QP$ перпендикулярна плоскости $NMA$, и тогда прямая $PQ$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности $BD$. С другой стороны $BD ⊥ AM$ по построению, значит, прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $MPQ$, и тогда отрезок $BD$ перпендикулярен плоскости $MPQ$ и равен расстоянию от $B$ до плоскости $MPQ$.

В $△BDA: ∠BDA = 90°; BD = BA · sin∠DAB; BA = NA — NB; NA = {15√3}/{2}; NB ={1}/{5}NA = {3√3}/{2}; BA = {15√3}/{2} — {3√3}/{2} = 6√3$.

Из $△MOA: sin∠MAO = sin∠DAB = {MO}/{MA} = {√6}/{√{MO^2 + OA^2}}={√6}/{√{6 +{75}/{4}}} = {√6·2}/{√{99}} = {2√6}/{3√{11}} ={2}/{3}√{{6}/{11}}$ (так как $AO ={1}/{3}NA = {5√3}/{2})$.

Из $△ABD:BD = AB·sin∠DAB = 6√3·{2}/{3}√{{6}/{11}} = 4√{{18}/{11}} = 12√{{2}/{11}} = {12√{22}}/{11}$.

Ответ: fsm{12sqrt{22}}{11}