Перейти к содержанию

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA=5, а высота SH=√15

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ боковое ребро $SA = 5$, а высота $SH = √ {15}$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $CD$ и $AB$ соответственно. Точка $N$ — вершина пирамиды $NSCD$, $NT$ — её высота.

а) Докажите, что точка $T$ делит $SM$ пополам.

б) Найдите расстояние между прямыми $NT$ и $SC$.


а) По условию задачи выполним чертёж.

В основании пирамиды NSCD лежит равнобедренный треугольник SCD, в котором SC = SD как боковые рёбра правильной пирамиды SABCD. Вершина N пирамиды NSCD равноудалена от точек C и D. NT — высота пирамиды, значит NT $⊥$ CSD и $∠$NTC = $∠$NTD = 90°. $△$NTC = $△$NTD (NC = ND, NT — общая), значит TC = TD. Точки, равноудалённые от концов отрезка CD, лежат на серединном перпендикуляре к отрезкуMS. Значит, точка T принадлежит отрезку SM, который является медианой, биссектрисой и высотой в треугольнике SCD.

Найдём стороны SN и NM в треугольнике SMN. По т. Пифагора для $△SHC: CH = √{SC^2 — SH^2} = √{25 — 15} = √{10}$. Тогда $AC = 2√{10}, AB = AC/√2 = 2√5$. Следовательно, $NM = 2√5, NH = √5$. По т. Пифагора для $△SNH: SN = √{SH^2 + NH^2} = √{15 + 5} = 2√5$. Таким образом, $SN = NM$. Так как $SN = SM$, то треугольник SMN — равносторонний. Значит, высота NT является медианой и точка T является серединой SM.

б) Чтобы найти расстояние от прямой, перпендикулярной некоторой плоскости, до прямой, лежащей в этой плоскости, нужно из точки пересечения прямой и плоскости опустить перпендикуляр на вторую прямую и найти его длину.

Опустим перпендикуляр TK на сторону SC треугольника SCD и найдём его длину.

Треугольники SKT и SMC подобны как прямоугольные треугольники с общим острым углом. Тогда ${KT}/{CM }= {ST}/{SC}$ и $KT ={ST}/{SC}·CM = {√5}/{5}·√5 = 1$.

Ответ: 1