Перейти к содержанию

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды DABC отмечены точки M и N так, что AM:MB=CN:NB=2:1

На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $DABC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=CN:NB=2:1$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ делит пирамиду.


а) 1) $△ABC ∼△MBN$ (угол $B$ общий, две пропорциональные стороны).

Значит $∠NMB = ∠CAB$. Следовательно, $MN ‖ AC$, так как равны соответствующие углы.

2) Так как $PQ$ — средняя линия $△ADC$, то $PQ ‖ AC$.

3) Так как $MN ‖ AC$ и $PQ ‖ AC$, то $MN ‖ PQ$. Следовательно, точки $P, Q, N$ и $M$ лежат в одной плоскости.

б) 1) Пусть $R$ — середина ребра $DB$. Тогда $PR$ — средняя линия $△ADB$. Следовательно, $PR ‖ AB$. Аналогично $QR ‖ BC$.

2) Обозначим через $V$ объём пирамиды $DABC, V_1 = V_{DPQR} + V_{MNBPQR}, V_2 = V — V_1, h$ — высота пирамиды $DABC, S$ — площадь $△ABC$.

Так как $△PQR∼ △ACB$ и ${PQ}/{AC} = {1}/{2}$, то $S_{PQR} ={S}/{4}$.

Так как ${DP}/{DA} = {1}/{2}$, то высота пирамиды $DPQR$ равна ${h}/{2}$.

Таким образом, $V_{DPQR} = {1}/{3}S_{PQR}· {h}/{2} = {1}/{3}· {S}/{4} ·{h}/{2} = {Sh}/{24}$.

3) Можно доказать, что $MNBPQR$ — усечёная пирамида. Её высота равна ${h}/{2}$.

Пусть $S_1 = S_{MNB}, S_2 = S_{PQR}$.

Так как $△BMN ∼ △BAC$ и ${BM}/{BA} = {1}/{3}$, то $S_1 = ({1}/{3})^2·S = {S}/{9}$.

Тогда $V_{MNBPQR} = {1}/{3}·{h}/{2}·(S_1 + √{S_1·S_2} + S_2)= {h}/{6}·({S}/{9} + √{{S}/{9}·{S}/{4}} + {S}/{4}) = {h}/{6}({S}/{9} + {S}/{6} + {S}/{4})= {19}/{216}Sh$.

4) $V_1 = V_{DPQR} + V_{MNBPQR} = {Sh}/{24} + {19}/{216}Sh = {7}/{54}Sh. V_2 = V — V_1 = {1}/{3}Sh — {7}/{54}Sh = {11}/{54}Sh$.

5) ${V_1}/{V_2} = {{7}/{54}Sh}/{{11}/{54}Sh} = {7}/{11}$.

Ответ: 7:11