Перейти к содержанию

Дан куб ABCDA1B1C1D1

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена точка $M$,
причём $AM:MA_1=1:1$, на ребре $BB_1$ отмечена точка $N$,
причём $BN:NB_1=1:2$, на ребре $CC_1$ отмечена точка $K$, причём
$CK:KC_1=1:3$.
а) В каком отношении, считая от точки $D$, плоскость $MNK$ делит ребро $DD_1$?
б) Найдите величину угла между плоскостями $MNK$ и $ABC$.


а) Пусть ребро куба равно $1$. Противоположные грани куба параллельны, поэтому плоскость $MNK$ пересекает их по параллельным отрезкам. Сечением куба плоскостью $MNK$ является параллелограмм $MNKF$, где $F$ — точка пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $MNK$. Рассмотрим проекцию куба на грань $CC_1D_1D$. $DM_1=AM$, $CN_1=BN$. Отрезки $M_1N_1$ и $FK$ параллельны, поэтому $N_1K={1} / {3}-{1} / {4}={1} / {12}$, и $FD=M_1D-M_1F={1} / {2}-{1} / {12}={5} / {12}$, значит, $DF:FD_1=5:7$.

б) Прямая $FK$ пересекает плоскость основания куба в точке $L$, прямая $NK$ пересекает плоскость основания куба в точке $T$, поэтому плоскость $MNK$ пересекает плоскость $ABC$ по прямой $TL$. В прямоугольном треугольнике $CLT$ отрезок $CH$ — высота, по теореме о трёх перпендикулярах $KH⊥ TL$, поэтому линейный угол $CHK$ является углом между плоскостями $MNK$ и $ABC$. Треугольники $CLK$ и $DLF$ подобны, $CK={1} / {4}$, $FD={5} / {12}$, $DL=1+CL$, тогда из пропорции ${1} / {4}:{5} / {12}=CL:(1+CL)$, получим $CL={3} / {2}$. Аналогично из подобия треугольников $CTK$ и $BTN$ найдём $CT=3$. В прямоугольном треугольнике $CLT$ гипотенуза $LT$ вычисляется по теореме Пифагора:$LT={3√ 5} / {2}$, а высота $CH={CL⋅ CT} / {LT}={3} / {√ 5}$. В прямоугольном треугольнике $CHK$ вычисляем
$tg∠ CHK={CK} / {CH}={1} / {4}:{3} / {√ 5}={√ 5} / {12}$, значит, $∠ CHK=arctg{√ 5} / {12}$.

Ответ: begin{tabular}{c}а)$5:7$\б)$arctgfsm{sqrt5}{12}$end{tabular