Перейти к содержанию

Решите неравенство (3x−7)log5x−11(x2−8x+17)≥0

Решите неравенство $(3x — 7) log_{5x-11}(x^{2} — 8x + 17) ≥ 0$.


В правой части неравенства стоит $0$, в левой — произведение двух множителей. Определим знаки каждого из этих множителей.

При $x ={7}/{3}$ выражение $3x — 7 = 0$, при $x > {7}/{3}$ выражение $3x — 7 > 0$, а при $x < {7}/{3}$ выражение $3x - 7 < 0$.

Рассмотрим выражение $log_{5x-11}(x^2 — 8x + 17)$ и определим его знаки. Заметим, что $x^2 — 8x + 17 = (x — 4)^2 + 1 ≥ 1$ при любых значениях $x$. Значит, при $5x — 11 > 1$, то есть при $x > 2.4$, выражение $log_{5x-11}(x^2 — 8x + 17) > 0$; при $0 < 5x - 11 < 1$, то есть при $2.2 < x < 2.4, log_{5x-11}(x^2 - 8x + 17) < 0$ и не определено при $x ≤ 2.2$ и $x = 2.4$.

Удобно знаки сомножителей отметить на двух параллельных прямых.

Таким образом, решение исходного неравенства: ${11}/{5} < x ≤{7}/{3}; x > 2.4$.

Ответ: $(2.2;2{1}/{3}];(2.4;)+∞)$