Перейти к содержанию

Решите неравенство log|x−2|(4+7x−2×2)≥2

Решите неравенство $log_{|x-2|}(4 + 7x — 2x^2)≥2$.


$log_{|x-2|}(4 + 7x−2x^2) ≥ 2$.

ОДЗ:

${table 4 + 7x−2x^2 > 0; x -2≠0; {|x -2|} ≠ 1;$

${table 2x^2 −7x−4 < 0; x≠2; x≠3; x≠1;$

${table (x + 0.5)(x−4) < 0; x≠2; x≠3; x≠1;$

$x ∈ (−0.5;1)∪(1;2)∪(2;3)∪(3;4)$.

$log_{|x-2|}(4 + 7x−2x^2) ≥ log_{|x-2|}(x -2)^2$.

$log_{|x-2|}(4 + 7x−2x^2)−log_{|x-2|}(x -2)^2 ≥ 0$.

На ОДЗ заменим полученное неравенство равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:

1) знак $log_{a}f −log_{a}g$ совпадает со знаком $(a−1)(f −g)$.

2) знак $|f|−|g|$ совпадает со знаком $(f − g)(f + g)$.

Применяем 1: $(|x -2|−1)(4 + 7x−2x^2 −x^2 +4x−4) ≥ 0, (|x -2|−1)(−3x^2 + 11x) ≥ 0$.

Разделим обе части неравенства на $−3$.

$(|x -2|−1)(x^2 −{11x}/{3}) ≤ 0$.

Применяем 2: $(x -2−1)(x -2 + 1)x(x−{11}/{3}) ≤ 0, x(x — 3)(x -1)(x−{11}/{3}) ≤ 0$.

$0 ≤ x ≤ 1, 3 ≤ x ≤ {11}/{3}$.

Учитывая ОДЗ, получим:

$0 ≤ x < 1; 3< x ≤ {11}/{3}$.

Ответ: $[0;1)∪(3;{11}/{3}]$