Перейти к содержанию

Решите неравенство log3(x−1)≤4−9log9(x−1)3

Решите неравенство $log_3(x — 1) ≤ 4 — 9 log_{9(x-1)}3$.


ОДЗ уравнения ${tablex-1 > 0; 9(x-1)≠1;$ то есть $x > 1, x ≠{10}/{9}$.

Используя формулу $log_ab ={log_cb}/{log_ca}$, получаем $log_{9(x−1)}3 = {1}/{log_3(x − 1) + 2}$.

Неравенство примет вид $log_3(x − 1) ≤ 4 − {9}/{log_3(x − 1) + 2}$. Пусть $log_3(x − 1) = t$, тогда $t − 4 + {9}/{t + 2} ≤ 0, {(t − 1)^2}/{t + 2} ≤ 0, t = 1$ или $t < −2$.

$log_3(x − 1) = 1$, откуда $x − 1 = 3, x = 4$ или $log_3(x − 1) < −2$, откуда $x − 1 < {1}/{9}, x < {10}/{9}$. Учитывая ОДЗ, получим $1 < x < {10}/{9}, x = 4$.

Ответ: $(1;{10}/{9}),4$