Перейти к содержанию

В выпуклом четырёхугольнике середины противоположных сторон соединены отрезками, причём один из них делит этот четырёхугольник на две равновеликие фигуры, а другой делит площадь в отношении 9:13

В выпуклом четырёхугольнике середины противоположных сторон соединены отрезками, причём один из них делит этот четырёхугольник на две равновеликие фигуры, а другой делит площадь в отношении $9:13$. а) Доказать, что данный четырёхугольник является трапецией. б) Найти отношение меньшего основания этой трапеции к большему.


а) Рассмотрим выпуклый четырёхугольник $QMNP$ (см. рис.). Пусть $E$ — середина $MQ$, $F$ — середина $NP$, причём $S_{MNFE}=S_{EFPQ}$.

Проведём отрезки $EN$ и $EP$. Заметим, что
$S_{▵ EFN}={1} / {2} EF⋅ FNsin ∠ EFN={1} / {2} EF⋅ FP sin ∠ EFP=S_{▵ EFP}$, так как $NF=FP$ и $sin ∠ EFN=sin (180°-∠ EFN)=sin ∠ EFP$. Отсюда $S_{▵ MNE}=S_{▵ EPQ}$ ($S_{▵ MNE}=S_{MNFE}-S_{▵ EFN}$, $S_{▵ EPQ}=S_{EFPQ}-S_{▵ EFP}$). Опустим в $▵ MNE$ высоту $NN_1$, в $▵ EPQ$ — высоту $PP_1$. Получим: ${1} / {2} ME⋅ NN_1={1} / {2} EQ⋅ PP_1$. Но $ME=EQ$, следовательно, $NN_1=PP_1$. Но тогда в четырёхугольнике $N_1NPP_1$ $∠ NN_1P_1=∠ N_1P_1P=90°$, $NN_1=PP_1$, то есть $N_1NPP_1$ — прямоугольник. Значит, $N_1P_1∥ NP$, $MQ∥ NP$. Из предположения о том, что $MN∥ QP$, следует, что отрезок, соединяющий середины сторон $MN$ и $QP$, делит параллелограмм $MNPQ$ на две равновеликие фигуры. Но по условию это не так. Значит, $MN ∦ QP$. Следовательно, $MNPQ$ — трапеция. б) По условию второй отрезок $AB$ делит четырёхугольник так, что площадь $ANPB$ относится к площади $ABQM$ как $9:13$ (см. рис.).

$S_{ANPB}:S_{ABQM}=9:13$. $AB$ — средняя линия трапеции, $AB={NP+MQ} / {2}$. $S_{ANPB}={AB+NP} / {2}⋅ h_1$; $S_{ABQM}={AB+MQ} / {2}⋅ h_2$, где $h_1$ — высота трапеции $ANPB$; $h_2$ — высота трапеции $ABQM$. Так как $NP∥ MQ$, а $AB$ — средняя линия и $AB∥ NP$ и $AB∥ MQ$, то расстояния от $AB$ до $NP$ и от $AB$ до $MQ$ равны, то есть $h_1=h_2$. Отсюда, ${S_{ANPB}} / {S_{ABQM}}={{NP+AB} / {2}} / {{AB+MQ} / {2}}={NP+{NP+MQ} / {2}} / {{NP+MQ} / {2}+MQ}={3NP+MQ} / {3MQ+NP}$, ${3NP+MQ} / {3MQ+NP}={9} / {13}$, $39NP+13MQ=27MQ+9NP$, $30NP=14MQ$, ${NP} / {MQ}={14} / {30}={7} / {15}$.

Ответ: 7:15