Основания трапеции равны $6$ и $19$, а её диагонали равны $7$ и $24$.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.
а) Проведём $CE ‖ BD$. $E$ — точка пересечения прямых $AD$ и $CE$. $BCED$ — параллелограмм: $BC ‖ DE$ как прямые, содержащие основания трапеции, $BD ‖ CE$ по построению. $BC = DE = 6$, тогда $AE = AD + DE = 19 + 6 = 25$. Заметим, что для треугольника $ACE$ выполнена теорема Пифагора: $AC^2 + CE^2 = AE^2$, следовательно, $AC ⊥ CE$, а так как $CE ‖ BD$, то $BD ⊥ AC$.
б) Проведём высоту $CH$ трапеции. $CH$ также является высотой треугольника $ACE. CH = {AC·CE}/{AE} = {7·24}/{25}. S_{ABCD} = {AD + BC}/{2}·CH = {19 + 6}/{2}·{7·24}/{25} = 7·12 = 84$.
Ответ: 84