Перейти к содержанию

В треугольнике EKP, в котором все углы острые, проведены высоты KB и PA. Из точек A и B на KB и PA опущены перпендикуляры AM и BN соответственно

В треугольнике $EKP$, в котором все углы острые, проведены высоты $KB$ и $PA$. Из точек $A$ и $B$ на $KB$ и $PA$ опущены перпендикуляры $AM$ и $BN$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $MN$ и $KP$ параллельны.
б) Найдите отношение $MN:KP$, если угол $KEP$ равен $45^°$.


а) $△POB ∼ △KOA$ по первому признаку подобия: $∠PBO = ∠OAK = 90°, ∠BOP = ∠AOK$ как вертикальные.

Учитывая, что в подобных треугольниках пропорциональны сходственные стороны и высоты, к ним проведённые, получим ${OP}/{OK} = {BN}/{AM}$ (1).

$△ONB ∼ △AOM$ по первому признаку подобия: $∠BNO = ∠AMO = 90°, ∠BON = ∠AOM$ как вертикальные, отсюда ${ON}/{OM} = {BN}/{AM}$ (2).

Из 1) и 2) следует ${OP}/{OK} = {ON}/{OM}$.

Следовательно, $△OPK ∼ △ONM$ по второму признаку подобия: $∠POK$ — общий, ${OP}/{ON} = {OK}/{OM}$.

Из подобия следует $∠OPK = ∠ONM$ . Углы $OPK$ и $ONM$ соответственные при прямых $PK$ и $NM$ и секущей $OP$ . Следовательно, $PK ‖ MN$ по признаку параллельности прямых.

б) В четырехугольнике $AEBO ∠AEB = 45°$ (по условию) $∠AOB=360°-(∠A +∠B +∠E ) = 360° — 225° = 135°$. В $△AOM ∠AMO = 90°, ∠AOM = 180°-135°=45°, AM=MO$.

Обозначим $OM = x$, тогда $AM = x, AO=OM√2=x√2$.

В $△OAK ∠OAK = 90°, ∠AOM = 45°$, то есть $AO = AK, AO=x√2, KO=AO√2=x√2·√2=2x$.

По доказанному в пункте а) $△OPK ∼ △ONM$, значит, ${MN}/{KP} = {OM}/{OK}$.

Пусть $OM = x, OK = 2x$.

${MN}/{KP}={x}/{2x}=1:2$

Ответ: 1:2