Перейти к содержанию

Найдите точку максимума функции y=√77+4x−x2

Найдите точку максимума функции $y=√ {77+4x-x^2}$.


Дискриминант квадратного трёхчлена $-x^2+4x+77$, расположенного под знаком квадратного корня, больше нуля ($D = 16+308 = 324$), значит этот квадратный трёхчлен имеет два корня.

$x_{1,2} = {-2±√{4 + 77}}/{-1} = {-2±9}/{-1}, x_1 = -7, x_2 = 11$.

Ветви параболы, являющейся его графиком, направлены вниз, поэтому при $x∈[-7; 11]$ он принимает неотрицательные значения. Исходная функция определена и непрерывна на отрезке при любом значении $x ∈ [-7; 11]$, и дифференцируема на интервале (-7; 11).

Найдём стационарные точки на интервале (-7; 11) и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с плюса на минус.

1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной сложной функции.

$y′ = {1}/{2√{77 + 4x — x^2}}·(77 + 4x — x^2)′ = {-2x + 4}/{2√{77 + 4x — x^2}} = {-(x — 2)}/{√{77 + 4x — x^2}}, y′ = {-(x — 2)}/{√{77 + 4x — x^2}}$,

2. Решаем уравнение $y′ = 0, x — 2 = 0, x = 2$. Получаем одну стационарную точку.

3. Так как $√{77 + 4x — x^2} > 0$ на интервале (-7; 11), то знак производной совпадает со знаком выражения $-x +2$. Тогда $y′ > 0$ при $-x +2 > 0, x < 2; y′ < 0$ при $-x + 2 < 0, x> 2$.

Следовательно, переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Ответ: 2