Найдите наименьшее значение функции $y=x^5-5x^3-270x$ на отрезке $[0 ;5]$.
Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $x$.
1. Находим $y′$, пользуясь правилами дифференцирования и формулой производной степенной функции: $y′ = 5x^4 — 15x^2 — 270$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0$. Сделаем подстановку $x^2 = t (t ≥ 0)$, получим уравнение $5t^2 — 15t — 270 = 0$ или $t^2 — 3t — 54 = 0$.
$t_1 = -6, t_2 = 9$.
$t_1 = -6$ не удовлетворяет условию $t ≥ 0$. Уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня $x_1 = -3, x_2 = 3$. На промежуток (0; 5) попадает лишь одно число $x = 3$. Получаем единственную стационарную точку.
3. Найдем знак производной на двух промежутках (0; 3) и (3; 5), на которые точка $x = 3$ разбивает интервал (0; 5). Для этого найдем значения производной в точке $x = 1$ из первого интервала, и в точке $x = 4$ из другого интервала.
$y′(1) = 5·1^4 — 15·1^2 — 270 = 5 — 15 — 270 < 0$,
$y′(4) = 5·4^4 — 15·4^2 — 270 = 1280- 240 — 270 > 0$.
Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $x = 3$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.
$y(3) = 3^5 — 5·3^3 — 270·3 = 243-135-810 = -702$.
Ответ: -702