Найдите точку минимума функции $y={25x^2+25} / {x}$.
Областью определения функции является множество $(-∞; 0) ∪ (0;+∞)$, в каждой точке которого функция дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с «минуса» на «плюс».
1. Находим $y′$, представив заданную функцию в виде $y = 25x+{25}/{x}$. По правилам дифференцирования и формуле производной степенной функции получаем: $y′ = 25 — {25}/{x^2} = {25x^2 — 25}/{x^2} = {25(x^2 — 1)}/{x^2}$.
2. Решаем уравнение $y′ = 0, x^2 — 1 = 0, x_1 = -1, x_2 = 1$. Получаем две стационарные точки.
3. Так как $x^2 > 0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $x^2 -1$, корнями которого являются числа $-1$ и $1$. Поэтому $y′ > 0$ при $x < -1, y′ < 0$ при $-1 < x < 0, y′ < 0$ при $0 < x < 1$ и $y′ > 0$ при $x > 1$.
| (-∞;-1) | -1 | (-1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (0;+∞) | |
| y′ | + | 0 | — | Не сущ. | — | 0 | + |
| y | ↗ | ↘ | ↘ | ↗ |
При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.
Ответ: 1